محتوای درسی
تکلیف حساب
معادله درجه دو
دهم
خلاصه :
در این بست معادله درجه دو را برای شما توضیح می دهم- فاکتورگیری
- مربع کامل
- استفاده از فرمول
شاید به نحوه یافتن رابطه‌ی ارائه شده در روش شماره ۳ علاقه‌مند باشید. در ابتدا پیشنهاد میشود مطلبِ معادله دایره را مطالعه فرموده و در مورد نحوه بدست آمدن پاسخ شماره ۳ فکر کنید.
در اولین قدم طرفین رابطه را به a تقسیم کنید. با انجام این کار رابطه استاندارد به‌صورت زیر در می‌آید.
در قدم بعدی به طرفین رابطه‌ی بالا، عدد b24a2
را اضافه کنید. در نتیجه شکل عمومی رابطه فوق برابر خواهد بود با:
b24a2
را نگه داشته و c/a را به سمت راست منتقل می‌کنیم. با انجام این کار رابطه بالا به‌شکل زیر در می‌آید.
با توجه به مطلب معادله دایره، رابطه بالا یک دایره به شعاع √b24a2−ca
را نشان می‌دهد. در حقیقت می‌توان رابطه بالا را به شکل زیر بازنویسی کرد.
جهت بدست آوردن پاسخ x، از طرفین رابطه بالا جذر گرفته و آن را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم.
با نگه داشتن x و بردن b/2a به سمت راست، پاسخ x برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.
با فاکتور گرفتنِ ۱/۲a از سمت راستِ رابطه‌ی بالا داریم:
معمولا عبارت b2−4ac
را به‌صورت جداگانه با علامت Δ(دلتا) نمایش می‌دهند؛ با این فرض رابطه فوق به‌صورت زیر در خواهد آمد.
توجه داشته باشید که علامت ± به معنای این است که معادله درجه دوم دارای دو پاسخ است. در حقیقت محل تلاقی نمودار درجه دوم با محور xها همان پاسخ معادله است. همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌بینید نمودار درجه دوم در دو نقطه محور xها را قطع کرده است.
اما اگر کل نمودار بالای محور xها قرار گیرد، نمودار محور‌ها xها را در نقطه‌ای قطع نمی‌کند؛ بنابراین پاسخ‌ها به چه شکل خواهند بود؟ در ادامه در این مورد توضیح خواهیم داد.
حالت‌های مختلفِ Δ
همان‌طور که در بالا نیز اشاره شد، در پاسخ x عبارت b2-4ac یا همان دلتا زیر رادیکال قرار می‌گیرد، در نتیجه این مقدار هر عددی نمی‌تواند باشد چراکه مقدار زیر رادیکال بایستی بیشتر از صفر باشد (۰< Δ
). نهایتا برای یک معادله درجه‌ی دوم حالت‌های زیر می‌تواند رخ دهد:
- b2-4ac مثبت باشد. در این حالت معادله دو پاسخ متفاوت دارد.
- b2-4ac صفر باشد. در این حالت معادله دو پاسخ مشابه یا اصطلاحا ریشه مضاعف دارد.
- b2-4ac منفی باشد. در این حالت معادله پاسخی ندارد.
مثال ۱
پاسخ معادله 5x2+6x+1=0 را بیابید.
جهت حل یک معادله‌ی درجه دوم در ابتدا بایستی ضرایب a,b,c را بیابید. با مقایسه معادله مذکور با معادله ax2+bx+c=0 مقادیر a,b,c برابر با اعداد زیر بدست می‌آیند.
در قدم بعدی بایستی Δ را محاسبه کرده و علامت آن را مشخص کنید. با توجه به مقادیر a,b,c اندازه Δ برابر است با:
عدد بالا مثبت است؛ در نتیجه این معادله دارای دو پاسخ متفاوت خواهد بود. با استفاده از رابطه ۱، پاسخ معادله برابر است با:
همان‌طور که انتظار می‌رفت معادله فوق دارای دو پاسخ است. البته نمودار رابطه فوق نیز همین امر را نشان می‌دهد. در حقیقت نمودار رابطه فوق به‌شکل زیر است.
مثال ۲
پاسخ معادله 5x2+2x+1=0 را بیابید.
در رابطه فوق مقادیر a,b,c برابرند با:
در نتیجه دلتا برابر است با:
مقدار دلتای بدست آمده منفی است؛ بنابراین معادله فوق پاسخی در اعداد حقیقی ندارد.
برچسب‌های این مطلب :
گالری تصاویر :
