محتوای درسی
ریاضی دهم
نامعادله و معادله قدرمطلقی
دهم
خلاصه :
یکی از مفاهیم بسیار مهم و ساده در ریاضیات، مفهوم قدر مطلق است. این مفهوم، فاصله یک عدد با مبدا (صفر) را نشان میدهد. این موضوع در شکل زیر نشان داده شده است.تعریف قدر مطلق، بهصورت زیر است:
عبارت بالا به ما میگوید به عدد نگاه کنید؛ اگر بزرگتر یا مساوی با صفر بود، خودش را بنویسید و اگر منفی بود، علامت منفی آن را حذف کنید.
بنابراین، قدر مطلق، هر عددی را مثبت میکند و این یعنی |p|≥0.
البته به شرایط تعریف قدر مطلق توجه کنید. برای مثال، عبارت |x-| را نمیتوان بهعنوان تعریف قدر مطلق نوشت، زیرا اطلاعی از مقدار xنداریم
همچنین باید توجه کنید که قدر مطلق به این معنا نیست که هر جا علامت منفی دیدیم، آن را به مثبت تبدیل کنیم. برای مثال:
4x–3|≠ 4x+3|
حال چگونه یک معادله قدر مطلق را حل کنیم؟
اولین راهحلی که به ذهنمان میرسد، احتمالاً این جمله است: عدد p حتماً 4 یا 4− بوده است که قدر مطلق آن برابر با 4 است. این جمله ساده، اساس حل معادلات قدر مطلق است. فرمول کلی زیر، معادل ریاضی عبارتی است که بیان کردیم:
دقت کنید که b باید یک عدد مثبت باشد. این عدد نمیتواند منفی باشد، چون حاصل قدر مطلق هیچ عددی منفی نیست. البته b اگر صفر باشد، واضح است که p نیز برابر با صفر است.
مثال
معادله زیر را حل کنید:
2x–5|=9|
حل: راه حل این معادله، چیزی جز فرمول اخیر نیست که بیان کردیم. کل عبارت داخل قدر مطلق را بهعنوان عدد pp در نظر میگیریم و بهسادگی مسئله را حل میکنیم. بنابراین، دو حالت داریم:
2x–5=–9 یا 2x–5=9
از همین رو، دو معادله یک مجهولی ساده خواهیم داشت که باید آنها را حل کنیم.
در نتیجه، به دو جواب x=−2 و x=7 میرسیم.
نامعادلات قدر مطلق
در بخش قبل، معادلات قدر مطلق را بررسی کردیم. در این بخش، نامعادلاتی را معرفی خواهیم کرد که در آنها قدر مطلق وجود دارد. برای نامعادلهها دو حالت وجود دارد که آنها را به تفکیک بیان میکنیم.
نامعادلههای شامل > و ≥
مانند بخش معادلهها، از یک مثال بسیار ساده شروع میکنیم:
p|≤4|
اگر از دیدگاه هندسی به مسئله بنگریم، نامعادله فوق بیان میکند فاصله از مبدا مهم نیست، مهم فقط این است که از ۴ بزرگتر نباشد. این یعنی p در بازه زیر قرار گیرد:
−4≤p≤4
مشابه عبارت بالا را برای علامت > نیز دارد
در حالت کلی، میتوانیم از فرمولهای زیر استفاده کنیم:
مانند معادلهها، در فرمول بالا b باید مثبت باشد.
نامعادلههای شامل < و ≤
باز هم یک مثال ساده عددی را در نظر میگیریم:
p|≥4|
عبارت بالا بیان میکند حداقل فاصله از مبدا باید 4 باشد. به عبارت بهتر، یعنی:
p≤4 یا p≥−4
هنگام برخورد با نامعادلههای شامل < و ≤، از فرمولهای کلی زیر استفاده میکنیم: