ریاضی

خلاصه :

ریاضیات به مطالعه مباحثی چون کمیت (نظریه اعداد)،^[۱] ساختار (جبر)،^[۲] فضا (هندسه)،^[۱] و تغییرات (آنالیز ریاضی) می‌پردازد.^[۳][۴][۵] در حقیقت تعریفی جهان شمول که همه بر سر آن توافق داشته باشند برای ریاضیات وجود ندارد.

ریاضیدانان به دنبال الگوهایی هستند که بتوان از آن‌ها استفاده کرده و حدس‌های جدیدی را فرموله کرد؛ آن‌ها درستی یا غلطی حدس‌ها را توسط اثبات ریاضیاتی نشان می‌دهند. هرگاه ساختارهای ریاضی مدل‌های خوبی از پدیده‌های جهان واقعی باشند، استدلال ریاضی می‌تواند بینش یا پیشبینی‌هایی برای طبعیت ارائه کند. علم ریاضیات با استفاده از تجرید و منطق از مفاهیمی چون شمردن، محاسبه و اندازه‌گیری و مطالعهٔ نظام مند اشکال و حرکات اشیاء فیزیکی به‌وجود آمد. ریاضیات کاربردی از زمانی که انسان نوشتن را آموخت، به عنوان فعالیتی بشری وجود داشته‌است. تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی ممکن است سال‌ها یا حتی قرن‌ها به درازا بینجامد.

استدلال‌های استوار ابتدا در ریاضیات یونان باستان ظاهر شدند، بخصوص در اثر عناصر اقلیدس. از زمان کارهای تحقیقاتی جوزپه پئانو (۱۸۵۸–۱۹۳۲)، دیوید هیلبرت (۱۸۶۲–۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعه ای در پایان قرن نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آن‌ها حقایق را با استدلال استوار از مجموعه منتخبی از اصول موضوعه و تعاریف بدست می‌آورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان رنسانس سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی نوآوری‌های ریاضیاتی با کشفیات علمی برهمکنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت که تا به امروز نیز ادامه دارد.^[۶]

ریاضیات در بسیاری از زمینه‌ها مثل علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم ضروری می‌باشد. شاخه‌های کاملاً جدیدی در ریاضیات به‌وجود آمده‌اند مثل نظریهٔ بازی‌ها. ریاضیدانان در ریاضیات محض (مطالعه ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر رازهای خود آن) بدون این که هیچ گونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات می‌پردازند، در حالی که کاربردهای عملی یافته‌های آن‌ها معمولاً بعدها کشف می‌شود.^[۷]

تاریخچه[ویرایش]

مقاله اصلی: تاریخ ریاضیات

لوح ریاضیاتی بابلیان، پلیمپتون ۳۲۲، مربوط به ۱۸۰۰ قبل از میلاد

ارشمیدس از روش افنا برای تقریب مقدار عدد پی استفاده کرد.

سیستم عددی استفاده شده در دستنویس بخشالی (مربوط به ریاضیات هند) که بر می‌گردد به قرن دوم قبل از میلاد و قرن دوم پس از میلاد.

تاریخ ریاضیات را می‌توان به عنوان دنباله ای از تجرید سازی‌های فزاینده دید. اولین قابلیت تجرید سازی که در بسیاری از حیوانات مشترک است،^[۸] احتمالاً مفهوم عدد می‌باشد: فهم این مطلب که مجموعه دو سیب و مجموعه دو پرتقال (به عنوان مثال) با هم اشتراکی دارند، و آن کمیت تعدادشان است.

همان‌طور که شواهد بر روی چوب‌خط نشان می‌دهد، مردم پیشاتاریخ می‌توانستند اشیاء فیزیکی را بشمرند و توانایی شمردن اشیاء تجریدی مثل روز، فصل و سال را نیز داشتند.^[۹]

شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده‌تر تا ۳۰۰۰ قبل میلاد مشاهده نشده، زمانی که بابلی‌ها و مصری‌ها شروع به استفاده از حساب، جبر و هندسه برای محاسبات مربوط به مالیات و دیگر مفاهیم اقتصادی، و ساخت و ساز یا نجوم کردند.^[۱۰] قدیمی‌ترین متون ریاضیاتی مربوط به میان‌رودان و مصر می‌شود که به ۲۰۰۰–۱۸۰۰ قبل از میلاد بازمی‌گردد. بسیاری از متون اولیه سه تایی‌های فیثاغورثی را ذکر کرده و لذا به نظر می‌رسد که قضیه فیثاغورث کهن‌ترین و گسترده‌ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه باشد. در اسناد تاریخی، در ریاضیات بابلی‌ها بود که حساب مقدماتی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا پدیدار گشت. بابلی‌ها همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می‌جستند که در آن دستگاه اعداد پایه ۶۰ پیاده‌سازی شده بود، ازین دستگاه عددی هنوز هم برای اندازه‌گیری زاویه و زمان استفاده می‌شود.^[۱۱]

با آغاز قرن ششم قبل از میلاد، ریاضیات یونانی‌ها با فیثاغورسی‌ها مطالعهٔ نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند که سرآغاز ریاضیات یونانی‌ها بود.^[۱۲] حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، اقلیدس روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می‌رود را معرفی کرد که شامل تعاریف، اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به عناصر معروف است به‌طور گسترده به عنوان موفق‌ترین و تأثیر گذارترین کتب مرجع همه زمان‌ها شناخته می‌شود.^[۱۳] بزرگترین ریاضیدانان باستان را اغلب ارشمیدس (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) اهل سیراکوز می‌دانند.^[۱۴] او فرمول‌هایی برای محاسبهٔ مساحت و حجم اجسام در حال دوران پیدا کرد و از روش افنا برای محاسبه مساحت زیر منحنی سهمی با استفاده از جمع یک سری بی‌نهایت استفاده کرد به گونه ای که بی شباهت با حساب دیفرانسیل و انتگرال مدرن نمی‌باشد.^[۱۵] دیگر دستاوردهای قابل توجه در ریاضیات یونان مقاطع مخروطی (آپولونیوس اهل پرگا، قرن سوم قبل از میلاد)،^[۱۶] مثلثات (هیپارکوس اهل نیکا (قرن دوم قبل از میلاد))،^[۱۷] و آغاز جبر (دیوفانتوس، قرن سوم پس از میلاد) بود.^[۱۸]

سیستم عددی هندو-عربی و قواعد استفاده از عملیاتش که امروزه در سراسر جهان استفاده می‌شود، در طی هزارهٔ اول میلادی در هند توسعه یافت و سپس از طریق ریاضیات اسلامی به جهان غرب انتقال یافت. دیگر پیشرفت‌های مربوط به ریاضیات هندی‌ها شامل تعریف مدرن سینوس و کسینوس و فرم اولیه سری‌های بی‌نهایتی می‌باشد.

صفحه ای از کتاب جبر خوارزمی.

در طی عصر طلایی اسلام، که در قرن نهم و دهم شکل گرفت، ریاضیات نوآوری‌های مهمی را به خود دید که بر اساس ریاضیات یونانی‌ها پایه‌ریزی شده بود. مهم‌ترین دستاوردهای ریاضیات اسلامی توسعهٔ جبر بود. دیگر دستاوردهای مهم ریاضیات دورهٔ اسلامی پیشرفت در مثلثات کروی و اضافه شدن اعشار به سیستم عددی عربی بود. بسیاری از ریاضیدانان این دوره فارس زبان بودند مثل الخوارزمی، عمر خیام و شرف الدین توسی.

در طی اوایل عصر مدرن، ریاضیات شروع به توسعه شتابداری در غرب اروپا کرد. توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتون و لایبنیز در قرن هفدهم ریاضیات را متحول کرد. لئونارد اویلر مهم‌ترین ریاضیدان قرن هجدهم بود که چندین قضیه و کشفیات را به ریاضیات افزود. شاید مهم‌ترین ریاضیدانان قرن نوزدهم ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس بود که خدمات متعددی به شاخه‌های مختلف ریاضیات چون جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، نظریه ماتریس، نظریه اعداد و آمار کرد. در اوایل قرن بیستم، کورت گودل، ریاضیات را با انتشار قضایای ناتمامیت خویش دچار تغییر کرد. این قضایا نشان دادند که هر سیستم اصول موضوعه سازگاری شامل گزاره‌های غیرقابل اثبات اند.

ریاضیات از آن زمان به‌طور گسترده‌ای توسعه یافته‌است و کنش و واکنش‌های ثمربخشی بین ریاضیات و علوم ایجاد شده که به نفع هردو می‌باشد. کشفیات ریاضیات تا به امروز نیز ادامه دارد. بر اساس نظر میخائیل سوریوک، که در ژانویه ۲۰۰۶ در بولتن انجمن ریاضی آمریکا منتشر شد، "تعداد مقالات و کتب پایگاه اطلاعاتی ژورنال Mathematical Review از سال ۱۹۴۰ (اولین سال عملیاتی شدن MR) اکنون به ۱٫۹ میلیون می‌رسد که سالانه بیش از ۷۵ هزار مورد به این پایگاه افزوده می‌شود. اکثریت کارهای گسترده‌ای که در این اقیانوس وجود دارد شامل قضایای جدید ریاضیاتی و اثبات‌هایشان است.

شاخه‌های ریاضیات[ویرایش]

چرتکه، یک وسیله ساده محاسباتی که از زمان‌های باستان مورد استفاده قرار می‌گرفت.

ریاضیات را می‌توان به‌طور خیلی کلی به چند قسمت تقسیم کرد: مطالعه کمیت، ساختار، فضا و تغییرات (یعنی حساب، جبر، هندسه و آنالیز). علاوه بر این‌ها که دغدغه‌های اصلی ریاضیات هستند، گرایش‌های دیگری نیز وجود دارند که خود را وقف کاوش ارتباطات بین قلب ریاضیات با دیگر زمینه‌های ریاضیات کرده‌اند، مثل ارتباطش با منطق، نظریه مجموعه‌ها (شالوده‌های ریاضی)، یا دیگر شاخه‌های تجربی تر ریاضیات که در علوم مختلف کاربرد دارند (ریاضیات کاربردی)، و اخیراً مطالعه عدم قطعیت. در حالی که برخی از این قلمروها ممکن است به ظاهر غیر مرتبط به نظر برسند، برنامه لانگلند ارتباطاتی بین شاخه‌هایی را یافته‌است که پیش از این غیر مرتبط تلقی می‌شدند، مثل گروه‌های گالوا، رویه‌های ریمانی و نظریه اعداد.

بنیان ریاضیات و فلسفه[ویرایش]

نظریه مجموعه‌ها و منطق به منظور تببین بنیان‌های ریاضیات توسعه یافته‌اند. منطق ریاضیات شامل مطالعهٔ منطق و کاربردهای منطق صوری به شاخه‌هایی از ریاضیات است؛ نظریه مجموعه‌ها شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه مجموعه‌ها یا گردایه ای از اشیاء می‌پردازد. نظریه رسته‌ها که به صورت مجرد به مطالعه ساختارهای ریاضیاتی و ارتباطشان با هم می‌پردازد هنوز هم در حال تکوین است. عبارت «بحران بنیان‌های ریاضیاتی» به دوره ای تاریخی بین ۱۹۰۰ تا ۱۹۳۰ اشاره دارد که در آن دوره جستجویی برای یافتن بنیانی مستحکم برای ریاضیات انجام شد.^[۱۹] اختلاف نظرها در مورد بنیان‌های ریاضی تا زمان کنونی هم ادامه دارد. این بحران با یک سری بحث‌ها تحریک شد، از جمله این بحث‌ها، بحث بر سر نظریه مجموعه‌های کانتور و جدال هیلبرت-براور بود.

دغدغهٔ منطق ریاضیاتی، ایجاد چارچوب مستحکم اصول موضوعه ای برای ریاضیات است. منطق ریاضی الزامات چنین چارچوبی را مطالعه می‌کند. مثلاً قضایای عدم کمال گودل به‌طور ضمنی می‌گویند که هر نظام صوری اگر معنا دار باشد (یعنی تمام قضیه‌هایی که می‌توان آن‌ها را اثبات کرد درست باشند)، الزاماً ناکامل اند (یعنی قضیای درستی هستند که نمی‌توان آن‌ها را در این سیستم اثبات کرد). گودل نشان داد که هر گردایه متناهی از اصول موضوعه‌های نظریه اعداد را به عنوان اصول موضوعه در نظر بگیریم، می‌توان یک جمله صوری ساخت که از نظر حقایق نظریه اعداد صحیح باشد ولی از این اصول موضوعه بدست نیایند؛ لذا در نظریه اعداد هیچ نظام صوری که از نظر اصول موضوعه ای کامل باشد وجود ندارد. منطق نوین به چند بخش تقسیم می‌شود: نظریه بازگشت، نظریه مدل و نظریه اثبات و ارتباط نزدیکی با علوم کامپیوتر و نظریه رسته‌ها دارد. در زمینهٔ نظریه بازگشت، عدم امکان وجود سیستم اصول موضوعه ای کامل را می‌توان به صورت صوری از طریق پیامدهای قضیه MRDP نشان داد.

علوم کامپیوتر شامل نظریه محاسبه پذیری، نظریه پیچیدگی محاسباتی و نظریه اطلاعات است. نظریهٔ محاسبه پذیری محدودیت‌های مدل‌های مختلف نظری رایانه‌ها را بررسی می‌کند که شامل بسیاری از مدل‌های شناخته شده چون ماشین تورینگ می‌شود. نظریه پیچیدگی به مطالعهٔ رام پذیری حل مسائل در رایانه می‌پردازد. برخی مسائل وجود دارند که با وجود این که از لحاظ نظری توسط رایانه قابل حل هستند، اما در عمل هزینه حل کردنشان از نظر زمان یا فضا زیاد است و عملاً با وجود پیشرفت‌های سریع سخت‌افزاری در دنیای کامپیوتر حل آن‌ها به نظر نامعقول می‌آید. یک مسئله مشهور در این وادی مسئلهٔ "P=NP"؟ است که برای حل آن جایزهٔ مسائل هزاره تعیین شده‌است.^[۲۰] در نهایت، نظریه اطلاعات با حجمی از داده‌ها سر و کار دارد که بتوان آن‌ها را بر روی یک وسیله خاص ذخیره کرد، پس این علم با مفاهیمی چون فشرده سازی و انتروپی سروکار دارد.

{\displaystyle p\Rightarrow q}
منطق ریاضیاتی	نظریه مجموعه‌ها	نظریه رسته‌ها	نظریه محاسبات

ریاضی محض[ویرایش]

کمیت[ویرایش]

مقاله اصلی: حساب

مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز می‌گردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آن‌ها که در شاخه حساب انجام می‌گردد. خواص عمیق‌تر اعداد در نظریه اعداد صورتی می‌پذیرد، که قضایای معروفی چون آخرین قضیه فرما از آن بیرون می‌آید. اعداد اول دوقلو و حدس گلدباخ دو تا از مسائل لاینحل نظریه اعدادند.

با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه ای از اعداد گویا ("کسر ها") شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی می‌باشند که از آن‌ها برای نمایش مفهوم کمیت‌های پیوسته استفاده شده‌است. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. این‌ها اولین قدم‌ها در سلسله مراتب اعداد می‌باشد که شامل چهارگان‌ها و هشتگان‌ها می‌باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، می‌توان به اعداد ترامتناهی رسید که مفهوم "بی نهایت" بودن را صوری می‌کنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جواب‌های چند جمله ای‌های تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجه‌شان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعه‌ها می‌شود، که در اعداد کاردینال توصیف گشته‌اند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعه‌های نامتناهی را با هم می‌دهند.

{\displaystyle (0),1,2,3,\ldots }	{\displaystyle \ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots }	{\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21}	{\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi }	{\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}}
اعداد طبیعی	اعداد صحیح	اعداد گویا	اعداد حقیقی	اعداد مختلط

ساختار[ویرایش]

مقاله اصلی: جبر

بسیاری از اشیاء ریاضیاتی، مثل مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی از خود بروز می‌دهند که می‌تواند پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال می‌شود. سپس ریاضیات به مطالعه خواص آن مجموعه‌هایی می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را بر اساس آن ساختار مورد نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال نظریه اعداد به مطالعه خواص مجموعه اعداد صحیح می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را با عملیات حساب بدست آورد. به علاوه، معمولاً اتفاقی که می‌افتد این است که چنین مجموعه‌های ساخت یافته (ساختارها) خواص مشابهی از خود بروز می‌دهند که امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آن‌ها را داده و لذا در چنین شرایطی می‌توان اصول موضعه‌هایی برای آن دسته خاص از مجموعه‌ها ارائه داد، و سپس به مطالعهٔ همه آن‌ها به صورت یکجا پرداخت (همه آن مجموعه‌هایی که در آن اصول موضوعه صدق می‌کنند). ازین رو، می‌توان گروه‌ها، حلقه‌ها، میدان‌ها و دیگر نظام‌های مجرد را مطالعه کرد؛ چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) تشکیل یک قلمرو از ریاضیات به نام جبر مجرد را می‌دهند.

جبر مجرد را می‌توان در حالت کلی آن به مسائل به ظاهر غیر مرتبط اعمال کرد؛ به عنوان مثال، تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خط‌کش و پرگار در نهایت با کمک نظریه گالوا حل شدند، که در آن از نظریه میدان و گروه‌ها استفاده شد. یکی دیگر از مثال‌های مرتبط با نظریه جبری، جبر خطیست، که عناصر آن بردارها می‌باشند. بردارها هم اندازه دارند و هم جهت و می‌توان از آن‌ها برای مدل‌سازی روابط بین نقاط درون فضا استفاده کرد. این مثالی از پدیده ای است که پیشتر اشاره شد، یعنی ارتباط قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط مثل هندسه و جبر، به گونه ای که مشخص می‌شود این قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط ارتباطاتی بس عمیق‌تر با یک دیگر در ریاضیات مدرن دارند. ترکیبیات به مطالعه راه‌های شمارش تعدادی اشیاء می‌پردازد که آن اشیاء در ساختار داده شده‌ای صدق می‌کنند.

جبر مجرد	نظریه اعداد	نظریه گروه‌ها
توپولوژی	نظریه مدول‌ها	نظریه ترتیب

فضا[ویرایش]

مقاله اصلی: هندسه

مطالعه فضا از هندسه آغاز شد، بخصوص هندسه اقلیدسی که فضا و اعداد را با هم ترکیب کرده و قضیه معروف فیثاغورس را به‌وجود آورد. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که درگیر ارتباطات بین اضلاع و زاویه‌های مثلث و توابع مثلثاتی می‌باشد. در مطالعات مدرن فضا، این ایده‌ها تعمیم یافته تا به هندسه‌هایی با ابعاد بالاتر، فضاهای غیر-اقلیدسی (که نقش بنیادینی در نسبیت عام دارند) و توپولوژی برسد. کمیت و فضا هردو نقش بنیادینی در هندسه تحلیلی، هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری دارند. هندسه محدب و گسسته برای حل مسائلی در نظریه اعداد و آنالیز تابعی توسعه یافتند، اما اکنون به نیت کاربردهایشان در بهینه‌سازی و علوم کامپیوتر دنبال می‌شوند. در هندسه دیفرانسیل مفاهیم کلاف‌های تاری و حساب دیفرانسیل و انتگرال بر روی منیفلدها، بخصوص بردارها و حساب تانسوری وجود دارد. در هندسه جبری توصیف اشیاء هندسی مربوط به مجموعه جواب چند جمله ای‌ها بحث می‌شود که مفاهیم کمیت و فضا را با هم ترکیب می‌کند. همچنین در مطالعه بر روی گروه‌های توپولوژی نیز به دنبال ترکیب ساختار و فضاییم. گروه‌های لی در مطالعه فضا، ساختار و تغییرات استفاده می‌شود. توپولوژی در تمام شاخه‌های متعدد خویش را می‌توان به عنوان بزرگترین رشد در ریاضیات قرن بیستم تلقی کرد. شاخه‌های توپولوژی شامل توپولوژی نقطه ای، توپولوژی نظریه مجموعه ای، توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل است. به عنوان مثال توپولوژی عصر جدید شامل قضیهٔ مترپذیری، نظریه اصول موضوعه ای مجموعه‌ها، نظریه هوموتوپی و نظریه مورس می‌باشد. توپولوژی همچنین اکنون شامل حدس اثبات شدهٔ پوانکاره بوده و هنوز قلمروهای لاینحلی چون حدس هاج را دربردارد. دیگر نتایج هندسه و توپولوژی شامل قضیه چهار رنگ و حدس کپلر می‌باشد که به کمک رایانه‌ها اثبات شده‌اند.

توپولوژی	هندسه	مثلثات	هندسه دیفرانسیل	هندسه فراکتال‌ها

تغییر[ویرایش]

مقاله اصلی: حساب دیفرانسیل و انتگرال

فهم و توصیف تغییر تم اصلی علوم طبیعی بوده و حساب دیفرانسیل و انتگرال به عنوان ابزاری برای تحقیق در این ارتباط ساخته شد. توابع در اینجا به عنوان مفهوم مرکزی توصیف کننده یک کمیت متغیر ظهور پیدا کردند. مطالعه مستحکم اعداد حقیقی و توابع تک متغیرهٔ حقیقی را آنالیز حقیقی گویند، آنالیز مختلط هم فیلد مشابهی است که بر روی میدان اعداد مختلط کار می‌کند. آنالیز تابعی بر روی فضاهای (اغلب بی‌نهایت بعدی) توابع متمرکز است. یکی از کاربردهای متعدد آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی است. بسیاری از مسائل به‌طور طبیعی به رابطهٔ بین یک کمیت و نرخ تغییراتش منجر می‌شوند. بسیاری از پدیده‌ها در طبیعت را می‌توان به وسیله سیستم‌های دینامیکی توصیف کرد؛ نظریه آشوب به‌طور دقیق بررسی می‌کند که چگونه یک سیستم می‌تواند پیش‌بینی ناپذیر باشد و در حالی که همزمان رفتار قطعی خود را نیز حفظ می‌کند.

{\displaystyle 36\div 9=4}			{\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)}
حساب	حسابان	حساب برداری	آنالیز ریاضی
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c}
معادلات دیفرانسیل	سیستم‌های دینامیکی	نظریه آشوب

ریاضیات کاربردی[ویرایش]

مقاله اصلی: ریاضیات کاربردی

ریاضیات کاربردی به دنبال روش‌های ریاضیاتی است که اغلب در علوم، مهندسی، بازرگانی و صنعت به کار برده می‌شوند؛ لذا «ریاضیات کاربردی» یک علم ریاضیاتی است با دانش تخصصی. همچنین عبارت ریاضیات کاربردی تخصصی حرفه ای را توصیف می‌کند که بر روی مسائل عملی تمرکز کرده‌است، ریاضیات کاربردی بر روی «فرمول بندی، مطالعه و استفاده از مدل‌های ریاضیاتی» در علوم، مهندسی و دیگر حوزه‌هایی که ریاضیات به کار می‌رود تمرکز می‌کند.

در عمل، کاربردهای عملی منجر به توسعه قضایای ریاضیاتی شده، که این قضایا خود، موضوع مطالعه در ریاضیات محض شده‌اند، که در آن ریاضیات به هدف توسعه خود ریاضیات مطالعه می‌شود. ازین رو، فعالیت ریاضیات کاربردی به‌طور حیاتی به تحقیقات در ریاضیات محض گره خورده‌است.

نظریه بازی‌ها	دینامیک سیالات	آنالیز عددی	بهینه‌سازی	نظریه احتمال	آمار	رمز نگاری
ریاضیات مالی	ریاضی فیزیک	ریاضیات شیمی	ریاضیات زیستی	ریاضیات اقتصاد	نظریه کنترل

جوایز ریاضیاتی[ویرایش]

نوشتار اصلی: جوایز ریاضیاتی

می‌توان مدعی شد که مهم‌ترین جایزه ریاضیاتی جایزهٔ فیلدز است،^[۲۱][۲۲] که در سال ۱۹۳۶ تأسیس شد و در این سال‌ها، هر چهار سال یک بار (به جز حدود جنگ جهانی دوم) به حداکثر ۴ ریاضیدان تعلق گرفته‌است. مدال فیلدز اغلب به عنوان معادلی برای نوبل در ریاضیات در نظر گرفته شده.

جایزهٔ وولف در ریاضیات، در ۱۹۷۸ تأسیس شد و به هدف قدردانی از دستاوردهایی است که یک ریاضیدان در عمر خویش بدان‌ها نایل گشته. جایزهٔ آبل در ۲۰۰۳ تأسیس شد. مدال چرن در ۲۰۱۰ معرفی شد برای قدردانی از دستاوردهای یک عمر. این جوایز برای اهمیت دادن به برخی کارهای نوآورانه، یا برای پیدا کردن راه حل برای مسائل مهم در یک شاخه خاص در نظر گرفته شده‌اند.

لیستی از ۲۳ مسئله باز که به آن‌ها «مسائل هیلبرت» می‌گویند در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضیدان آلمانی دیوید هیلبرت معرفی شد. این لیست به معروفیت زیادی بین ریاضیدانان دست یافت. حداقل نه تا از این مسائل اکنون حل شده‌اند. لیست جدیدی از هفت مسئله مهم به نام «مسائل جایزه هزاره» نیز در سال ۲۰۰۰ منتشر شد. تنها یکی از آن‌ها با لیست مسائل هیلبرت اشتراک دارد. جایزه حل هر مسئله در لیست جایزه هزاره ۱ میلیون دلار می‌باشد.