اعداد

..........

خلاصه :

یکی از مفاهیم پایه‌ای ریاضیات است. این مفهوم بسیار پیچیده و مورد بحث است.

شماره یا عدد (وام‌واژه از زبان عربی، جمع: أعداد) یکی از مفاهیم پایه‌ای ریاضیات است. این مفهوم بسیار پیچیده و مورد بحث است و در گذشته بیشتر مورد کاوش و تفکر قرار می‌گرفت، نقل است که افلاطون در بخشی از سفرهای خود با عقاید عجیب فیثاغورسی از جمله این که اعداد از اجسام فیزیکی پیرامون انسان هم واقعی‌تر هستند آشنا شد.^[۱] در آغاز شماره برای شمارش و اندازه‌گیری به کار می‌رفت ولی بعدها ریاضی‌دانان مفهوم آن را پیش بردند و مفهوم شماره صفر، عدد منفی، عدد موهومی و عدد مختلط را نوآوری کردند.

عملیات ریاضی شامل روش‌های ویژه‌ای است که یک یا چند شماره را به عنوان درونی دریافت و یک عدد را به عنوان بیرونی می‌سازد. عملیات یکانی تنها یک شماره را به عنوان درونی (ورودی) دریافت و تولید یک عدد بیرونی (خروجی) می‌کند. برای نمونه، عملیات شمارش یک عملیات یکانی است که به یک شماره (عدد) صحیح شمارهٔ یک را می‌افزاید و بنابرین دنباله شمارهٔ ۴ می‌شود ۵. عملیات دوتایی (باینری) دو شمارهٔ درونی دریافت و یک شمارهٔ بیرونی پرداخت می‌کند. نمونه‌هایی از عملیات دوتایی (باینری) عبارتند از: جمع (افزودن)، تفریق (کاستن)، ضرب (زدن یا کوبیدن)، تقسیم (بخشیدن یا بخش کردن) و توان. مطالعه و خواندن عملیات عددی (شماره‌ای) را حساب می‌نامند.

مجموعهٔ اعداد طبیعی
مجموعهٔ اعداد صحیح
مجموعهٔ اعداد گویا
مجموعهٔ اعداد حقیقی
مجموعهٔ اعداد مختلط.

اعداد طبیعی اعدادی هستند که برای شمارش (بطور مثال در «شش سکه روی میز است») و برای ترتیب (بطور مثال در «این سومین شهر در کشور است») به کار می‌روند. مجموعهٔ اعداد طبیعی نسبت به جمع و ضرب بسته‌است ولی نسبت به دیگر اعمال جبری بسته نیست. این امر و دیگر نارسایی‌های اعداد طبیعی (از جمله وجود عدد همانی جمع (صفر) و وارون جمعی یک عدد، که هیچ‌کدام در مجموعهٔ اعداد طبیعی نیستند) سبب شد سامانهٔ اعداد به مجموعهٔ اعداد صحیح گسترش یابد:

{\displaystyle \mathbb {Z} =\cdots -2,-1,0,1,2,\cdots } $\mathbb {Z} =\cdots -2,-1,0,1,2,\cdots$

مجموعهٔ اعداد صحیح با {\displaystyle \mathbb {Z} } ${\mathbb {Z}}$ نشان داده می‌شود که حرف اول کلمهٔ آلمانی Zahl به معنای «عدد» است.^[۲]

با استفاده از ویژگی‌های تقسیم می‌توان نشان داد اعدادی وجود دارند که عضو مجموعهٔ اعداد صحیح نیستند. مجموعهٔ اعداد گویا از اعداد صحیح بزرگتر است. هر عدد گویا برابر حاصل کسر {\displaystyle {\frac {m}{n}}} ${\frac {m}{n}}$ است که در آن m و n هر دو جزء اعداد صحیحند و n صفر نیست. مجموعهٔ اعداد گویا با {\displaystyle \mathbb {Q} } ${\mathbb {Q}}$ نشان داده می‌شود که حرف اول کلمهٔ Quotient به معنای «خارج قسمت» است.^[۳]

از اثبات وجود اعدادی مانند {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ (اندازهٔ قطر مربعی به ضلع ۱) و {\displaystyle \pi } $\pi$ (اندازهٔ محیط دایره‌ای به قطر ۱) نتیجه می‌شود که اعدادی هستند که عضو مجموعهٔ اعداد گویا نیستند؛ بنابراین مجموعهٔ عددی بزرگتر از اعداد گویا هم هست که به مجموعهٔ اعداد حقیقی موسوم است و با {\displaystyle \mathbb {R} } ${\mathbb {R}}$ نشان داده می‌شود که حرف اول کلمهٔ Real به معنای «حقیقی» است. مجموعهٔ اعداد حقیقی علاوه بر همهٔ اعداد گویا شامل اعداد غیرگویا (اعداد گنگ) نیز می‌شود. اعداد گنگ اعدادی هستند که نمی‌توان آن‌ها را به صورت کسر دو عدد صحیح نوشت و شکل اعشاریشان تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کند.

سیستم‌های ترتیبی
اعداد عربی
عربی غربی عربی شرقی	هندوستان برهمی
اعداد خاور دور
چینی ژاپنی خِمِر	کره‌ای تایلندی
اعداد بر پایه الفبا
ابجد ارمنی سیریلیک گِعِز	عبری یونانی سانسکریت
سیستم‌های دیگر
آتیک اِتروسکی رومی	بابلی مصری مایایی
عناوین مربوط به سیستم‌های شمارشی

بر پایه دهدهی،
دودویی: ۲، ۴، ۸، ۱۶، ۳۲، ۶۴، ۱۲۸
غیره: ۳، ۹، ۱۲، ۲۴، ۳۰، ۳۶، ۶۰، ادامه.